C++ 线段树原理与实现示例详解

// nums是给定大小为n的数组，par表示当前正在构建的线段树节点下标，start和end是当前需要计算的区间。
void build(vector<int>& nums, int par, int start, int end)
{
    if (start == end) // 区间大小为1，即单个点，因此当前节点的区间和就是单点的值
    {
        _segmentTree[par] = nums[start];
        return;
    }
    // 如果区间大于1，则先求当前节点的左孩子和右孩子
    int mid = start + (end - start >> 1);
    int lchild = 2 * par + 1;
    int rchild = 2 * par + 2;
    build(nums, lchild, start, mid);   // 递归求左节点的区间和
    build(nums, rchild, mid + 1, end); // 递归求右孩子的区间和
    // 当前节点的值就是左孩子的值+右孩子的值
    _segmentTree[par] = _segmentTree[lchild] + _segmentTree[rchild];
}

void update(int index, int val, int par, int start, int end)
{
    if (start == end) // 递归结束条件依然是当前区间为单点
    {
        segtree[par] = val;
        return;
    }
    int mid = start + (end - start >> 1);
    // 递归修改左孩子或右孩子
    if (index <= mid)
        update(index, val, 2 * par + 1, start, mid);
    else
        update(index, val, 2 * par + 2, mid + 1, end);
    // 修改完成后重新对父节点赋值
    pushUp(par);
}
// pushUp负责利用左右孩子的值更新父节点
void pushUp(int par)
{
    segtree[par] = segtree[2 * par + 1] + segtree[2 * par + 2];
}

// [left, right]是目标求和区间，par是当前节点编号，当前节点存储区间[start, end]的和
int query(int left, int right, int par, int start, int end)
{
    // 目标求和区间与当前节点的区间吻合，直接返回当前节点的值即可
    if (left == start && right == end)
        return segtree[par];
    int mid = start + (end - start >> 1);
    if (right <= mid) // 目标求和区间全部在左子树
        return query(left, right, 2 * par + 1, start, mid);
    else if (left > mid) // 目标求和区间全部在右子树
        return query(left, right, 2 * par + 2, mid + 1, end);
    else  // 目标求和区间分布在左右子树上
        return query(left, mid, 2 * par + 1, start, mid) +
               query(mid + 1, right, 2 * par + 2, mid + 1, end);
}

// 以「将给定区间内的数加x，查询每个节点存储对应区间的和」为例：
void update(int left, int right, int x, int node, int start, int end)
{
    // 区间没有交集，无需修改
    if (end < left || right < start)
        return;
    // 当前节点对应的区间被需要修改的区间完全包含
    if (left <= start && right >= end)
    {
        segtree[node].val += x * (end - start + 1);
        segtree[node].lazy += x;
        return;
    }
    // 不被[left, right]完全包含，则说明本轮只会更新[start, end]的一部分，因此不能再"偷懒"直接将x加在lazy上了
    // 而是先根据lazy的值修改左右子节点，然后再递归修改左右子树
    int mid = start + ((end - start) >> 1);
    // 先利用lazy修改孩子节点
    pushDown(node, mid - start + 1, end - mid);
    // 递归修改孩子节点
    update(left, right, 2 * node + 1, start, mid);
    update(left, right, 2 * node + 2, mid + 1, end);
    // 利用左右子树的区间最大值确定父节点的区间最大值
    pushUp(par);
}
void pushUp(int par)
{
	segtree[par].val = segtree[2 * par + 1] + segtree[2 * par + 2] + segtree[par].lazy;
}
// par表示父节点，ln表示左孩子的区间长度，rn表示右孩子的区间长度
void pushDown(int par, int ln, int rn)
{
    if (segtree[par].lazy != 0)
    {
        segtree[2 * par + 1].val += segtree[par].lazy * ln; // 修改左孩子的值
        segtree[2 * par + 1].lazy += segtree[par].lazy; // 偷懒，不再往下继续修改，因此左孩子继承父节点的lazy值
        segtree[2 * par + 2].lazy += segtree[par].lazy * rn;
        segtree[2 * par + 2].lazy += segtree[par].lazy;
        segtree[par].lazy = 0; // 父节点的lazy已经分配到子节点了，因此父节点lazy清零
    }
}

// 以「将给定区间内的数加x，查询每个节点存储对应区间的和」为例：
bool query(int left, int right, int node, int start, int end)
{
    // 区间没有交集，无需查询
    if (end < left || right < start)
        return false;
    // 有懒标记，则无需查询左右孩子，而是直接返回节点值，外加懒标记
    // 或者当前节点对应的区间被需要查询的区间完全包含，则直接返回节点值
    if (segtree[node].lazy || left <= start && right >= end)
        return segtree[node].val;
    int mid = start + ((end - start) >> 1);
    // 不完全包含，则先根据lazy修改子节点，再递归查询左右子树的和
    pushDown(node, mid - start + 1, end - mid);  
    return query(left, right, 2 * node + 1, start, mid) +
           query(left, right, 2 * node + 2, mid + 1, end);
}
// par表示父节点，ln表示左孩子的区间长度，rn表示右孩子的区间长度
void pushDown(int par, int ln, int rn)
{
    if (segtree[par].lazy != 0)
    {
        segtree[2 * par + 1].val += segtree[par].lazy * ln; // 修改左孩子的值
        segtree[2 * par + 1].lazy += segtree[par].lazy; // 偷懒，不再往下继续修改，因此左孩子继承父节点的lazy值
        segtree[2 * par + 2].lazy += segtree[par].lazy * rn;
        segtree[2 * par + 2].lazy += segtree[par].lazy;
        segtree[par].lazy = 0; // 父节点的lazy已经分配到子节点了，因此父节点lazy清零
    }
}